UN LIMITE TRIGONOMÉTRICO: Mi demostración poco ortodoxa.

     Presento a usted, estimado lector, la oportunidad de compartir este tema, (que me ha tenido ocupado buen tiempo) con algún conocido suyo- que esté dedicado a este campo- para su consideración. Asi mismo  tengan oportunidad de aportar críticas o adjuntar sugerencias y comentarios.

    Es parte del libro que preparo "Constructivismo y Matemáticas; o, ¿Cómo se hace el conocimiento matemático?" donde vuelco una colección de situaciones problemáticas abiertas encontradas durante mi estudio de ésta disciplina,   tratadas desde mi particular óptica matemática. 



Limite trigonométrico propuesto

     DEMOSTRACIÓN.- Para todo valor de X , pero para nuestro propósito, menor a 1, tendremos que, el valor seno correspondiente será ligeramente menor que el arco respectivo, y ésa diferencia se aproximará a cero a medida que X tienda a cero. Pero también nos permite una forma de expresión que veremos más adelante. 

     Llamemos a ésa diferencia, épsilon, cualesquiera que se presente a medida que X  tiende a cero

     Para un épsilon habrá un delta, para el caso especial de  X = 90, tal que.

     Con los siguientes antecedentes:

     El arco correspondiente a X = 90 es

     

  Existe una diferencia épsilon  entre el arco y el seno de 90. Esto nos permite escribir seno de 90 con la expresión (1)

 El seno de 90:

     La correspondiente diferencia épsilon entre el arco y el seno de 90 es: 5,70796330… x10 elevado a la potencia  -2.  

     Tenemos igualmente que, el arco de 1.

     Existe una diferencia épsilon entre el arco y el seno de 1. Eso nos permite escribir el seno de 1 con la expresión (3) 


     El seno de 1.

      Ahora podemos expresarlo así, de (1) y (3)

     Este es el máximo valor para la expresión

oooooOOOOooooo

     Examinemos el comportamiento para valores de X  iguales o menores que 1, es decir, conforme X  tiende a cero.

     Para  X = 1, el correspondiente arco vale.

     Existe una diferencia épsilon entre el arco y el seno de 1. Esto nos permite escribir seno de 1 con la expresión (4), idéntica a (3)

     La correspondiente diferencia entre el arco y el seno de 1 es:

      Tenemos igualmente que, el valor del arco  de (4) 

     Tenemos una diferencia épsilon entre el valor del arco y el seno de (4). Esto nos permite escribir seno de (4) con la expresión (6).

     El seno de (4):

     Entonces, la expresión:

      Podemos expresarla así:

(7)

     Pero podemos reemplazar (4) por el segundo factor del primer término del denominador de (7). Y escribirlo así:

oooooOOOooooo

     Puesto que las diferencias épsilon  son muy pequeñas inclusive para X  = 1,  serán  sumamente pequeñas a medida que X  tiende a cero; por ejemplo: X= 0.1, X = 0.01, X = 0.001, etc .En general para X = 10 elevado a -n, (n = 0, 1, 2, 3...infinito) Es evidente que, haciéndolas cero, podemos afirmar: 

El limite adquiere el valor numérico correspondiente a 1 rad. = 57,29577951...

Autor: Jorge Infantes Vargas

Año 2011

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